Güncel haberler
Ana Sayfa / Matematik / Kök 2 Sayısının Rasyonel Olmadığının İspatı

Kök 2 Sayısının Rasyonel Olmadığının İspatı

Öklid’in 2300 yıl önce kanıtladığı ve matematik dünyasının en iyi 10 ispatından birisi olarak kabul edilen Kök 2 (√2) sayısının İrrasyonel olduğunun kanıtıyla ilgili ayrıntıları inceleyeceğiz.


Eryaman escort
İlk olarak İrrasyonel sayının ne olduğunu belirtmek gerekecektir. Bu kısma yani irrasyonel sayının ne olduğunu ifade etmemiz gerekirse buna “Rasyonel olmayan sayı” şeklinde bir tanım yapabiliriz.

Bahçeşehir escort

Bahçeşehir escort bayan

Escort Bahçeşehir

Peki, Rasyonel sayı nedir?


Eryaman escort bayan
a,b ∈ Z, b ≠0 a/b kesirdir.

Okunuşuyla yazacak olursak, a,b elemanıdır Tam sayı ve b, 0’dan farklı olmak üzere a bölü b şeklinde yazılan ifadelere Kesir denir. Bu kesirlerden oluşan kümeye de Rasyonel sayılar kümesi denir.


Escort Eryaman
Rasyonel sayılar Q ile gösterilir. “Q” ifadesi İtalyanca da “Bölüm” anlamına gelen “Quoziente” kelimesinin ilk harfidir.

Şimdi Kök 2 (√2) sayısının rasyonel olmadığını yani İrrasyonel olduğunu gösterebiliriz. Yani bu, şu anlama gelecektir; Kök 2 (√2) sayısını a/b şeklinde yazabileceğim herhangi 2 tam sayı bulamam.

Yani;

√2 = a/b olacak

a.b ∈ Z olacak

b ≠0 olacak

Bizim iddiamız yani daha doğrusu ispatını yapacağımız durum bu şekilde herhangi 2 tam sayının olmayacağı yönündedir.

Şimdi olduğunu farz ederek ispata başlayalım.

Yani;

√2 = a/b olacak şekilde yazılabileceğini düşünelim. Burada a ve b’nin en sade halini yazdığımızı farz ediyoruz ki bu da, a ve b’nin aralarında asal olduğu anlamına gelir.

Aralarında asal ne demektir?

1’den başka ortak pozitif böleni olmayan, pozitif tam sayılara aralarında asal veya birbirine asal sayılar denir.

Şimdi yapacağımız ilk işlem √2 = a/b eşitliğinde her iki tarafında karelerini almak olacaktır.

2 = a²/b²

Bu kısımda içler dışlar çarpımı yapıyoruz.

a²= 2b²

Burada dikkat etmemiz gereken durum şu;

b, bir tam sayı dolayısıyla karesi de bir tam sayı ve b ne olursa olsun, 2 ile çarpıldığı için bu çarpımın sonucu bir çift sayıdır. (2b² bu kısım her zaman çift olacaktır)

Buradan şunu anlıyoruz ki a² bir çift sayıdır. Hatırlayacağınız gibi yazının başında a’nın da bir tam sayı olduğunu yazmıştık. Buradan a’nın karesinin çift sayı olduğunu biliyorsak o zaman a’nın da çift sayı olduğunu öğrenmiş oluyoruz.

Peki, a sayısı çift ise k bir tam sayı olacak şekilde a = 2k diyebiliriz. Bununla birlikte buradan elde ettiğimiz 2k’yı eşitlikte ki yerine yazalım.

Burada yapacağımız işlemler sırasıyla şu şekilde olacaktır;

2 = a²/b² => İçler dışlar çarpımı yapıyoruz

a²= 2b² => a = 2k diyoruz

(2k)²= 2b² =>

4k²= 2b² => Sadeleştirme işlemi yapıyoruz

2k²= b²

Şimdi bu kısımda şöyle diyebiliriz. k bir tam sayıydı, karesi de bir tam sayıdır ve çift sayı olan 2 ile çarpıldığı için “2k²” de bir çift sayı olacaktır.

2k²= b²

Bu kısımda her iki taraf bir birine eşit olduğu için, eşitliğin sağ tarafında bulunan “2k²” çift sayı ise doğal olarak eşitliğin sol tarafında bulunan “b²” de bir çift sayı olacaktır.

Geldik son kısma;

Eğer “b²” bir çift sayı ise “b” de çift bir sayı olur.

Bu da demek oluyor ki ben “n” bir tam sayı olmak koşuluyla “b = 2n” şeklinde ifade edebilirim.

Bu durumda ilk yazdığımız ifadeye göre bir çelişki elde etmiş oluruz.

Şimdi yukarıda yazdığımız şu kısma dikkat edin;

“√2 = a/b olacak şekilde yazılabileceğini düşünelim. Burada a ve b’nin en sade halini yazdığımızı farz ediyoruz ki bu da, a ve b’nin aralarında asal olduğu anlamına gelir.

1’den başka ortak pozitif böleni olmayan, pozitif tam sayılara aralarında asal veya birbirine asal sayılar denir.

İSPAT

Yukarıda yaptığımız işlemlerde şu iki sonucu elde etmiştik.

  1. a = 2k, yani “a” herhangi bir tam sayının iki katı
  2. b = 2n, yani “b” herhangi bir tam sayının iki katı

ve bu durumda “a” ve “baralarında asal olamayacaktır.

Yani bu kısımda büyük bir ÇELİŞKİ elde edilmiş olacaktır ve bu da “√2” nin rasyonel olduğuyla çelişir.

Sonuç olarak “√2” nin rasyonel bir sayı olmadığı yani İrrasyonel bir sayı olduğu kanıtlanmış olur.

Bu habere de bakabilirisiniz

David Hilbert Kimdir?

David Hilbert, 23 Ocak 1862 Königsberg, Almanya’da dünyaya gelmiş bir matematikçiydi. 19. ve 20. yüzyılın ...

David Hilbert’in Sonsuzluk Oteli

Sonsuzluk nedir? Bu sorunun cevabını vermek gerçekten de zor. Öyle ki hangi sayıyı ya da ...

Hilbert Problemleri

Hilbert problemleri, Alman matematikçi David Hilbert tarafından 1900 yılında yayınlanan 23 problemden meydana gelmektedir. Problemlerin ...

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir