Ana Sayfa / Matematik / Model Teorisi

Model Teorisi

Modeller kuramı, matematiksel sistemlerin dayandığı modelleri araştırma konusu olarak değerlendiren matematik dalıdır.

Diğer bir deyişle matematiksel konseptleri küme kuramı temelinde incelemektedir.

Modeller kuramı, temel olarak ‘dış dünyada‘ matematiksel nesnelerin varlığının olduğunu varsayar ve nesneler, nesneler arasında bazı işlemler veya bağıntılar ve bir aksiyomlar kümesi verildiğinde, nelerin nasıl tanıtlanabileceğiyle alakalı olarak sorular sorar.

Seçim aksiyomu ve süreklilik hipotezinin küme kuramının diğer aksiyomlarından bağımsız olduğu tespiti modeller kuramından doğan en ünlü sonuçlar olarak kabul edilmektedir. (Paul Cohen ve Kurt Gödel tarafından tanıtlanmıştır)

Hem seçim aksiyomunun hem de seçim aksiyomu negasyonunun küme kuramının Zermelo-Fraenkel aksiyomlarıyla uyumlu olduğunun tanıtımını yapmışlardır.

Bu neticeler model teorisinin özel bir uygulaması olan Aksiyomatik küme kuramı dalının bölümleridir.

Modeller kuramının pratik bir uygulama örneği vermemiz gerekirse eğer bunun için reel sayılar kuramını verilebilir.

 

Evrensel Cebir + Mantık = Modeller Teorisi

Modeller teorisi 1990’larda hızla gelişti ve 1997 yılında İngiliz matematikçi Wilfrid Hodges tarafından modern bir tanım çerçevesinde yeniden açıklandı.

Cebirsel Geometri – Alanları = Modeller Teorisi

Her nesnenin bir reel sayı olduğu bir nesneler kümesi ve {×,+,-,.,0,1} gibi bir bağıntılar ya da fonksiyonlar kümesini inceleyerek bu durumla ilgili ayrıntıları değerlendirelim.

Bu dilde kuracağımız örneğin “∃ x (x × x = 1 + 1)” önermesinin reel sayılar için doğru olduğu yani belirtilen koşulu sağlan bir x olduğu bellidir; ama aynı önerme rasyonel sayılar için yanlıştır.

Buna karşın “∃ x (x × x = 0 – 1)” önermesi reel sayılar için yanlıştır.

Önermeyi doğru yapmak için sabit bir simge i ve yeni bir aksiyom “i × i = 0 – 1” ekleyerek kompleks sayıları tanımlayabiliriz.

Tüm bunlara bakarak modeller kuramı, matematiksel sistemler içerisinde nelerin tanıtlanabilir olduğu ve bu sistemlerin kendi aralarındaki ilişkilerle ilgilenir. Özel olarak modeller kuramı bir sisteme yeni aksiyomlar ya da yeni dil yapıları eklendiğinde ne gibi sonuçlar ortaya çıktığını araştırır.

Kaynaklar:

-Chang, Chen Chung; Keisler, H. Jerome (1990) [1973]. Model Theory. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (3rd ed.). Elsevier. ISBN 978-0-444-88054-3.
-Hodges, Wilfrid (1997). A shorter model theory. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58713-6.
-Kopperman, R. (1972). Model Theory and Its Applications. Boston: Allyn and Bacon.
-Marker, David (2002). Model Theory: An Introduction. Graduate Texts in Mathematics 217. Springer. ISBN 0-387-98760-6.

Bu habere de bakabilirisiniz

Kum Terapisi (Sandplay) Nedir?

Dr. Linda Cunningham, Dünya Çapında Sandplay Eğitimi sayesinde sandplay terapi sanatında ve biliminde profesyonel psikoterapistler ...

Nomofobi Nedir?

Nomofobi, cep telefonu yoluyla iletişimden kopmaktan korkma durumu için önerilen bir isimdir. Akıl sağlığında, tanımları ...

“White Power” işareti Nedir?

Yeni Zelanda’da yaşanan terör saldırısının ardından yeninden gündeme gelen “White Power” işaretiyle ilgili akıllara birçok ...