Ana Sayfa / Matematik / Navier-Stokes Denklemleri

Navier-Stokes Denklemleri

Navier-Stokes denklemleri, ismini Fransız mühendis ve fizikçi Claude-Louis Navier ve İrlandalı matematikçi ve fizikçi George Gabriel Stokes‘tan almıştır. İkilinin isminin kullanıldığı denklemler, sıvılar ve gazlar gibi akışkanların hareketini tanımlamaya yaramaktadır.

Bu denklemler; akışkan içinde mevcut durumda olan birim kütleye etki eden momentum (ivmelenme) değişimlerinin, basınç değişimleri ve sürtünme kayıplarına sebebiyet veren viskoz kuvvetlerin (sürtünmeye benzer) toplamına eşit olduğunun doğruluğunu ortaya koymaktadır. Bu viskoz kuvvetler moleküller arası etkileşimlerden ortaya çıkmakta ve akışkanın akmaya ne kadar direnç gösterebileceğini (viskoz) göstermektedir. Bununla birlikte, Navier-Stokes denklemlerinin, verilen akışkanın herhangi bir bölgesindeki kuvvetler dengesinin dinamik ifadesi olduğu ifade edilebilir.

Kullanım olarak bu denklemler, en kullanışlı denklemler arasında ilk sırada yer almaktadır. Bunun en büyük nedeni, gerek akademik gerekse ekonomik çok sayıda fenomenin fiziğini açıklamaktadır.

Genellikle hava akımları ve okyanus akıntılarının, boru içindeki su akışının, galaksideki yıldız hareketlerinin, kanat etrafındaki hava akımlarının modellenmesinde ve hesaplarında sıkça kullanılırlar.

Navier-Stokes denklemlerinin ayrıntılarını incelemeden önce, akışkanlarla ilgili olarak bazı kabuller yapılması gereklidir. İlk olarak akışkanın sürekli olduğu kabul edilir. Kısacası akışkanın tamamının aynı özellikte olduğu içinde farklı biçimler (formlar) bulunmadığı kabul edilir. Diğer bir gerekli kabul de konuyla alakalı olarak tüm alanların basınç, hız, yoğunluk, sıcaklık vs., diferansiyel olduğudur. (faz değişimleri olmadan)

Denklemlerin elde edilmesi, momentum ve enerji ve kütle korunumunun temel prensiplerinin kullanılmasıyla mümkün olmaktadır. Bunun oluşabilmesi için “kontrol hacmi” olarak isimlendirilen, rastgele seçilmiş sonlu bir hacim belirlemek gerekmektedir, bu hacim üzerinde bu prensipler basit bir şekilde uygulanabilir.

Bu sonlu hacim Ω (Omega) ile ifade edilmektedir ve yüzeyi sınırlandırılır ∂ Ω (Partial Omega).
Kontrol hacmi, sabit kalabilir yada akışkan ile hareket edebilir.
Temel kabuller bunlardır, bununla birlikte, değişik uygulamalarda özel kabuller de yapılabilir.

Gerçek Türev

Hareket halinde ki akışkanın özelliklerinin değişiminin ölçülebilmesi için 2 yol bulunmaktadır. Buna örnek olarak dünya atmosferinde bulunan rüzgarın sür’atinin değişimleri değerlendirilecek olursa; bu değişiklikler bir meteoroloji istasyonu ölçüm cihazı (anemometre) yada bir hava balonu yardımıyla ölçülebilir. Unutulmamalıdır ki, ilk durumdaki anemometre, boşlukta sabit bir nokta boyunca geçiş yapan tüm hareketli parçacıkların hızını ölçerken, ikinci durumda bahsedilen aygıt, akışkan ile birlikte hareket ederken hızdaki değişimi ölçer.

Aynı koşulda, yoğunluk, sıcaklık vb. değişimler de ölçüme etki edecektir. Bundan dolayı, bu iki durum için bir ayrım yapılmalıdır. Bir alanın boşluktaki sabit bir pozisyona göre türevi uzaysal (spatial) yada Euleryen türev (Eulerian derivative) olarak isimlendirilir. Hareketli bir parçacığın izlenmesi türevi gerçek (substantive), Lagrangyan (Lagrangian) yada maddi (material) türev olarak adlandırılır.

Gerçek türev şu şekilde tanımlanır:

Burada v akışkanın hızını göstermektedir. Denklemin sağ tarafındaki ilk terim alışılmış Euleryen türevi (sabit bir referans üzerindeki türev) iken, ikinci terim akışkan hareketiyle meydana gelen değişiklikleri ifade etmektedir. Bu etki adveksiyon olarak adlandırılır.

Korunum Kanunları

Navier-Stokes denklemleri, aşağıdaki korunum kanunlarından türetilir:

  • Kütle
  • Enerji
  • Momentum
  • Açısal momentum

Bununla birlikte, akışkan için bir durum denklemi bağıntısı kabulu yapılması gereklidir.

Anlaşılabilecek bir biçimde, bir korunum kanunu şunu ifade etmektedir, bir kontrol hacmi üzerinde tanımlanmış hacim özelliği (bulk property) değişiminin oranı L hacim sınırları boyunca hareket eden akışkanın dışarı taşıdığı kayıp ve artı kontrol hacminin iç tarafındaki kazançlar ve kayıplara eşit kabul edilir. Bu, aşağıdaki integral denklemi ile ifade edilir.

Bu denklemde v akışkanın hızı ve Q akışkan içindeki kazançlar ve kayıplar olarak ifade edilir.

Eğer kontrol hacmi boşluk içinde sabitlenmiş ise bu integral denkleminden aşağıdaki şekilde bir ifade yazılabilir.

Ayrıca, kontrol hacminin içinde, bu son denklemde elde edilmiş olan sağ taraftaki ilk terimin ifade edilmesi için diverjans teoremi kullanılmıştır. Böylece:

Yukarıdaki ifade boşlukta sabit kalan bir kontrol hacminde Ω (Omega) için geçerlidir. Çünkü Ω (Omega) zaman içinde sabittir, değişmez. Bu sayede  ifadeleri birbirinin yerine yazılabilir. Böylece ifade tüm alanlar için geçerli olur, ve integral çıkartılabilir.

Gerçek türev, Q=0 olduğunda (kazanç ve kayıp yokken) elde edilir.

Yalnız şunu da ifade etmek gerekir ki, Navier-Stokes denklemleri akışkan akışını yalnızca yaklaşık olarak tanımlayabilir ve çok küçük ölçeklerde yada sıradışı şartlarda, gerçek akışkanlar diğer maddeleri ve molekülleri içeren karışımlardır.
Navier-Stokes denklemleri ile homojen ve sürekli akışlar modellenmiş ve bunun üzerinden sonuçlar elde edilmiştir. Bununla beraber Navier-Stokes denklemleri pratikteki problemlerin çözümü için, geniş bir aralıkta faydalı olur.

Kaynaklar:

-İngilizce Wikipedia Navier-Stokes denklemleri maddesi
-https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Navier-Stokes_denklemleri&oldid=19572563

By Kaynuka

Bu habere de bakabilirisiniz

David Hilbert Kimdir?

David Hilbert, 23 Ocak 1862 Königsberg, Almanya’da dünyaya gelmiş bir matematikçiydi. 19. ve 20. yüzyılın ...

David Hilbert’in Sonsuzluk Oteli

Sonsuzluk nedir? Bu sorunun cevabını vermek gerçekten de zor. Öyle ki hangi sayıyı ya da ...

Hilbert Problemleri

Hilbert problemleri, Alman matematikçi David Hilbert tarafından 1900 yılında yayınlanan 23 problemden meydana gelmektedir. Problemlerin ...

escort bursa escort izmir escort antalya escort izmir türk porno porno izmir escort bursa escort üvey anne pornosu türk porno escort bayan escort bayan izmir escort istanbul